Представление логической функции по таблице истинности

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:

Клавиша	Оператор
!	¬	Отрицание (НЕ)
|	|	Штрих Шеффера (И-НЕ)
#	↓	Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
*	&	Конъюнкция (И)
+	v	Дизъюнкция (ИЛИ)
^	⊕	Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR)
@	→	Импликация (ЕСЛИ-ТО)
%	←	Обратная импликация
=	≡ (

, ↔)

Эквивалентность (РАВНО)

bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис.

Правила ввода логической функции

1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
3. Максимальное количество переменных равно 10 .

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Логическая функция — это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части — соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.

Правила построения логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.

2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.

4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0, то этот аргумент взять с отрицанием.

Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции Z(X,Y):

X

Y

Z

Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.

1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1.

2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов:( )V( ).

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишим в виде конъюнкции аргументов функции X и Y: (X & Y) V (X & Y).

4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно 0 и получаем искомую функцию:
Ответ : Z (X, Y) =( X & Y) V (X & Y).

Правильный ответ – 4 балла.

Решение, поясняющее правильный ответ – 6 баллов.

Методические указания к выполнению заданий 3-6

При выполнении заданий студент должен выбрать правильный ответ из предложенных вариантов или указать свой ответ, если вариантов не предложено. Необходимо аргументировано обосновать свой ответ, привести примеры, иллюстрирующие ответ.

Какое соответствие должно быть между списками формальных и фактических параметров подпрограмм?

1. по именам переменных

2. по количеству элементов списка

3. по количеству и типам параметров

4. по значениям переменных

Ответ: правильным является вариант 3 (1 балл)

Обоснование выбранного варианта

Параметры (переменные), определяемые при описании процедуры или функции, называются формальными. Параметры (переменные), задаваемые при вызове подпрограммы, называются фактическими. Замена формальных параметров фактическими делается так: на место первого формального параметра подставляется первый фактический параметр, на место второго формального параметра — второй фактический и т.д. Поэтому количество и типы формальных и фактических параметров должны совпадать.

Количество баллов за обоснование – 2.

Пример, иллюстрирующий ответ

Например, при описании функции

FUNCNION REL(I:INTEGER, Y, Z: REAL): INTEGER; ……

Формальные параметры I-целого типа; Y, Z – вещественного типа.

При вызове функции

формальный параметрI заменяется на константу целого типа 5 (фактический параметр), Y – на выражение вещественного типа 3*SIN(4), Z заменяется на выражение вещественного типа 2*PI.

Количество баллов за пример –2.

Суммарный балл за задание -5.

3.5 Методические указания к выполнению задания 7

Дана блок-схема (рис.1). Каково будет значение переменной С после выполнения алгоритма?

Рис. 1. Блок схема алгоритма

За указания правильного значения без пояснения – 3 балла.

Составление пояснений к работе алгоритма в виде таблицы трассировки (см. таблицу 3) оценивается в 7 баллов. Cуммарный балл 10.

Трассировка выполнения алгоритма

№ п/п	Значения переменных
a	b	c	i	n
1

3.6 Методические указания к выполнению задания 8

Пример1 выполнения задания 8

Определить количество тех членов последовательности, которые нечетны и отрицательны. Найти сумму членов последовательности, кратных 5.

1. Разработаем алгоритм решения задачи (рис. 2).

Рис.2. Блок-схема алгоритма к примеру 1

Оценка за правильную блок-схему алгоритма ­– 7 баллов.

В данной статье мы начнем обозревать булевую алгебру или алгебру логики. Рассмотрим элементы функции на схеме, а так же приведем таблицы истинности для всех логических функций.

Введение в булевую алгебру

В 1854 году Джордж Буль провел исследование «законов мышления», которые основывались на упрощенной версии теории «групп» или «множеств», и из этого была выведена булевая алгебра.

Булева алгебра имеет дело, главным образом, с теорией, согласно которой логические операции и операции над множествами являются либо «ИСТИННЫМИ», либо «ЛОЖНЫМИ», но не обеими одновременно.

Например, A + A = A, а не 2A, как это было бы в обычной алгебре. Булева алгебра — это простой и эффективный способ представления действия переключения стандартных логических вентилей, а основные логические операторы, которые нас здесь интересуют, задаются операциями логических вентилей функций И , ИЛИ и НЕ.

Логическая функция «И» (умножение)

Функция логики И утверждает, что два или более события должны происходить вместе и одновременно, чтобы происходило выходное действие. Порядок, в котором происходят эти действия, не имеет значения, поскольку он не влияет на конечный результат. Например, & B = B & . В булевой алгебре функция логики И подчиняется коммутативному закону, который допускает изменение положения любой переменной.

Функция «И» представлена в электронике символом точки или полной остановки ( . ) Таким образом, 2-входное ( АВ ) «И» элемент имеет выходной термин, представленный логическим выражением A.B или просто AB.

Представление функции «И» на схеме

Здесь два переключателя A и B соединены вместе, образуя последовательную цепь. Поэтому в вышеупомянутой цепи оба выключателя A «И» B должны быть замкнуты (логика «1»), чтобы включить лампу. Другими словами, оба переключателя должны быть замкнуты или должны иметь логическую «1», чтобы лампа горела.

Тогда логический элемент этого типа (логический элемент «И» ) создает выход только тогда, когда все его входы истины. В терминах булевой алгебры вывод будет ИСТИНА, только когда все его входы ИСТИНА. В электрическом смысле логическая функция «И» равна последовательной цепи, как показано выше.

Поскольку имеется только два переключателя, каждый с двумя возможными состояниями «открытый» или «закрытый». Определяя логическую «0» как то, когда переключатель разомкнут, и логическую «1», когда переключатель замкнут, существует четыре различных способа или комбинации расположения двух переключателей вместе, как показано в таблице ниже.

Таблица истинности для функции «И»

Логические «И» элементы доступны как стандартные пакеты ic, такие как общие TTL 74LS08 Четырехпозиционные 2-входные положительные элементы «И» (или эквивалент CMOS 4081), TTL 74LS11 Тройные 3-входные положительные элементы «И» или 74LS21 Двойные 4-входные положительные элементы «И». «И» ворота можно также «каскадировать» вместе для создания цепей с более чем 4 входами.

Логическая функция «ИЛИ» (сложение)

Функция логического «ИЛИ» заявляет, что выходное действие станет ИСТИНОЙ, если одно «ИЛИ» больше событий ИСТИНЫ, но порядок, в котором они происходят, не имеет значения, поскольку он не влияет на конечный результат.

Так , например, А + В = В + А . В булевой алгебре функция логического «ИЛИ» подчиняется коммутативному закону так же, как и для логической функции «И», что позволяет изменять положение любой переменной.

Логика или логическое выражение, данное для логического элемента «ИЛИ», является логическим выражением, которое обозначается знаком плюс, ( + ). Таким образом, 2-входной ( АВ ) Логический элемент «ИЛИ» имеет выход термин, представленный булевой выражением: A + B = Q .

Представление функции «ИЛИ» на схеме

Здесь два переключателя А и B соединены параллельно и, либо переключатель A «ИЛИ» переключатель B может быть закрыт, чтобы включить лампу. Другими словами, выключатель может быть замкнут, либо быть на логике «1», чтобы лампа была включена.

Тогда этот тип логического элемента генерирует и выводит только тогда, когда присутствует «ЛЮБОЙ» из его входов, и в терминах Булевой алгебры выход будет ИСТИНА, если любой из его входов ИСТИНЕН. В электрическом смысле логическая функция «ИЛИ» равна параллельной цепи.

Как и в случае с функцией «И», есть два переключателя, каждый с двумя возможными положениями, открытыми или закрытыми, поэтому будет 4 различных способа расположения переключателей.

Таблица истинности для функции «ИЛИ»

Логические «ИЛИ» элементы доступны в виде стандартных пакетов ic, таких как общие TTL 74LS32 Четырехместные 2-входные положительные «ИЛИ» элементы. Как и в предыдущем логическом элементе «И», «ИЛИ» также может быть «каскадно» соединен для создания цепей с большим количеством входов, таких как системы охранной сигнализации (зона A или зона B или зона C и т.д.).

Логическая функция «НЕ» (отрицание)

Функция «Логическое НЕ» — это просто инвертор с одним входом, который изменяет вход логического уровня «1» на выход логического уровня «0» и наоборот.

«Функция логического НЕ» называется так, потому что ее выходное состояние НЕсовпадает с его входным состоянием с ее логическим выражением, обычно обозначаемым чертой или линией ( ¯ ) над его входным символом, который обозначает операцию инвертирования (отсюда ее название как инвертор).

Поскольку логическое «НЕ» выполняет логическую функцию инвертирования или комплементационной, их чаще называют инверторами, поскольку они инвертируют сигнал. В логических схемах это отрицание может быть представлено нормально замкнутым переключателем.

Представление функции «НЕ» на схеме

Если A означает, что переключатель замкнут, то «НЕ» A или А (с верхней чертой) говорит, что переключатель НЕ замкнут или, другими словами, он разомкнут. Функция логического НЕ имеет один вход и один выход, как показано на рисунке.

Таблица истинности для функции «НЕ»

Индикатор инверсии для логической функции «НЕ» является символом «пузыря», ( O) на выходе (или входе) символа логических элементов. В булевой алгебре инвертирующая логическая функция «НЕ» следует Закону дополнения, создающему инверсию.

Логические «НЕ» элементы или «Инверторы», как их чаще называют, могут быть связаны со стандартными элементами «И» и» ИЛИ» для создания элементов «НЕ И» и «НЕ ИЛИ» соответственно. Инверторы также могут использоваться для генерации «дополнительных» сигналов в более сложных декодерах / логических схемах, например, дополнение логики A — это «НЕ» A , а два последовательно соединенных инвертора дают двойную инверсию, которая выдает на своем выходе исходное значение A.

При проектировании логических схем вам может понадобиться только один или два инвертора в вашей конструкции, но если у вас нет места или денег для выделенного чипа инвертора, такого как 74LS04. Тогда вы можете легко заставить логику «НЕ» функционировать, используя любые запасные элементы «НЕ А» или «НЕ ИЛИ», просто соединяя их входы вместе, как показано ниже.

Логическая функция «НЕ И»

Функция «НЕ И» представляет собой комбинацию двух отдельных логических функций, функции «И» и функции «НЕ» последовательно. Логическая функция «НЕ И» может быть выражена логическим выражением AB (с верхней чертой)

Функция логического «НЕ И» генерирует выход, только когда «ЛЮБЫЕ» из ее входов отсутствуют, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА, только когда любой из ее входов ЛОЖЬ (0).

Представление функции «НЕ И» на схеме

Таблица истинности для функции «НЕ И» противоположна таблице для предыдущей функции «И», потому что элемент «НЕ И» выполняет обратную операцию элемента «И». Другими словами, элемент «НЕ И» является дополнением элемента «И».

Таблица истинности для функции «НЕ И»

Функция «НЕ И» обозначается вертикальной чертой или стрелкой вверх, например, логический B = A | Bили A ↑ B .

Логика «НЕ И» используется в качестве основных «строительных блоков», чтобы построить другие функции логического элемента и доступны в стандартных IC пакетов, такие как общий TTL — 74LS00 Четырехместный 2-входной «НЕ И» элемент, TTL — 74LS10 Тройной 3-входной «НЕ И» элемент или 74LS20 Двойной 4-х входной «НЕ И» элемент. Есть даже один чип 74LS30 с 8 входами «НЕ И» элемента.

Логическая функция «НЕ ИЛИ»

Логический элемент «НЕ ИЛИ» представляет собой комбинацию двух отдельных логических функций, «НЕ» и «ИЛИ», соединенных вместе, чтобы сформировать единую логическую функцию, которая идентична функции «ИЛИ», за исключением того, что выход инвертирован.

Чтобы создать вентиль «НЕ ИЛИ», функция «ИЛИ» и функция «НЕ» соединены вместе последовательно, и ее операция определяется булевым выражением как, A + B (с верхней чертой).

Функция логического «НЕ ИЛИ» генерирует и выводит только тогда, когда отсутствуют «ВСЕ» ее входы, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА только тогда, когда все ее входы ЛОЖНЫ .

Представление функции «НЕ ИЛИ» на схеме

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ» противоположна таблице для предыдущей функции «ИЛИ», потому что элемент «НЕ ИЛИ» выполняет обратную операцию элемента «ИЛИ». Тогда мы можем видеть, что элемент «НЕ ИЛИ» является дополнением элемента «ИЛИ».

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ»

Функция «НЕ ИЛИ» иногда известна как функция Пирса и обозначается стрелкой вниз, А «НЕ ИЛИ» B = A ↓ B.

Логика элемента «НЕ ИЛИ» доступны как стандартные IC пакетов, таких как TTL 74LS02 Четырехместный 2-входной элемент «НЕ ИЛИ», TTL 74LS27 Тройной 3-входной элемент «НЕ ИЛИ» или 74LS260 Двойной 5-входной элемент «НЕ ИЛИ».

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ