Сила тока производная от заряда

Интегрированный урок объяснения нового материала: АЛГЕБРА+ФИЗИКА. 11-й класс

Цели урока: конкретизация знаний учащихся (закрепление понятия производной и получение временных зависимостей скорости, ускорения, заряда и силы тока), применение геометрических и алгебраических методов при решении задач; развитие логического мышления, внимания и памяти; воспитание взаимопомощи, аккуратности.

Наглядные средства обучения: плакаты на магнитной доске («Электромагнитные колебания в колебательном контуре», «Алгоритм нахождения производной», «Правила дифференцирования»), на партах – раздаточный материал с задачами.

Ход урока

(Учитель математики сообщает тему и цели урока, объясняет механический смысл производной, повторяет определение и правила вычисления производной, основные формулы дифференцирования.)

2. Объяснение нового материала

Учитель математики. Материальная точка движется по координатной прямой, причём задан закон движения x(t) – функция времени.
За промежуток от t₀ до t=t₀+t перемещение точки равно x = x(t₀ + t) – x(t₀), а её средняя скорость ср(t) = x : t.

Обычно характер движения бывает таким, что при средняя скорость практически не меняется, т.е. движение можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определённому значению, которое и называют мгновенной скоростью (t₀) этой точки в момент времени t0. Итак, ср(t) = (x : t) (t₀) при , но, по определению производной, поэтому коротко говорят: производная координаты по времени есть скорость.

В этом состоит смысл производной в механике. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, может быть равной 0. Это зависит от направления движения вдоль оси x.

Аналогично с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция времени t, т.е. = (t).
А из курса физики вы знаете, что, по определению, a=/t при . С другой стороны, поэтому a = ‘(t) = x"(t). Короче говоря, производная от скорости по времени есть ускорение, или вторая производная от координаты по времени есть ускорение.

Пример. Рассмотрим свободное падение материальной точки. Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с х = 0, то, как известно из физики, координата этой точки

Тогда зависимости скорости и ускорения точки соответственно равны a = (gt)’ = g.

Мы получили законы свободного падения.

3. Промежуточное закрепление материала

(Решение задач 1, 2 из Приложения.)

4. Объяснение нового материала (продолжение)

Учитель физики. На предыдущих уроках физики мы начали рассматривать электромагнитные колебания. Вспомните, что называют электромагнитными колебаниями? (Учащиеся дают определение.)

Мы выяснили, что между явлениями и величинами в механике и электродинамике прослеживаются определённые аналогии. В электромагнитных колебаниях большую роль играет явление самоиндукции. Какому механическому явлению оно аналогично? (Учащиеся вспоминают аналогию с инерцией.) Какие величины в механике имеют аналоги в электродинамике? (один учащийся записывает на доске.)

x q m L Eк Wмагн

i R Eп Wэл

Только что вы рассмотрели математическую взаимосвязь координаты и скорости. Исходя из аналогии можно сделать вывод, что i(t) = q'(t). Этот же вывод следует из определения силы тока:

если i = const, то i = q/t;

если i меняется, то i(t) =

Таким образом, чтобы выяснить, какова зависимость силы тока от времени, нужно знать зависимость заряда от времени и взять её производную. На последнем уроке мы получили уравнение свободных колебаний из формулы энергии контура с помощью производной. Запишите на доске это уравнение (один ученик пишет на доске):

(1)

Напомню, что L и C – постоянные величины, параметры элементов колебательного контура.

Любое уравнение имеет решение. В данном случае решением является зависимость заряда от времени. Найдём её методом математического анализа. (В ходе беседы учащиеся, опираясь на решение задачи 2 Приложения, определяют, что заряд меняется по закону косинуса, – такие колебания называются гармоническими. По плакатам обсуждается значение в формуле члена, соответствующего амплитуде заряда: если максимальное значение косинуса равно 1, то максимальное значение заряда – амплитуде заряда qm. Далее определяют коэффициент при t в аргументе функции cos ₀t.)

Пусть q(t) = qm cos ₀t. Тогда производная этой сложной функции есть q'(t) = –qm ₀ sin 0t. Вторая производная – соответственно

или (2)

Сравнивая уравнения (1) и (2), получаем

Записываем зависимость заряда от времени и находим зависимость силы тока от времени с помощью производной (величина qm0, стоящая перед синусом, – это максимальное значение силы тока Im, т.е. амплитуда силы тока):

I(t) = q'(t) = –qm₀sin₀t = –Imsin₀t = Imcos(₀t + /2).

5. Закрепление материала

(Решение задач № 3, 4 из Приложения.)

6. Подведение итогов урока

(Обсуждение с учащимися значения производной при изучении физики, оценка их работы на уроке.)

7. Домашнее задание

§ 22, 30 из учебника «Физика-11» Г.Я.Мякишева, Б.Б.Буховцева. – М.: Просвещение, 2005; № 5–7 из Приложения.

1. Пусть точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t 3 + t – 1. Найдите ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение равно 1/с 2 ? (х – в м, t – в с.)

2. Координата маятника часов изменяется по закону x(t) = 0,6 cos100t. Найдите зависимость скорости и ускорения от времени.

3. Заряд конденсатора в контуре меняется по закону q(t) = 10 –6 cos104 t. Определите зависимость силы тока от времени, амплитуды заряда и силы тока. (q – в Кл, t – в с.)

4. В колебательном контуре с катушкой индуктивностью 0,2 мГн и конденсатором ёмкостью 800 мкФ происходят колебания. Конденсатору сообщили начальный заряд 2 мкФ. Запишите зависимость заряда и силы тока от времени для данного контура. Каково максимальное значение силы тока в контуре?

5. Человек удаляется со скоростью 8 км/ч от подножия башни высотой 60 м. Какова скорость его удаления от вершины башни, когда он находится на расстоянии 80 м от её основания?

6. По условию задачи 3 определите индуктивность катушки, если ёмкость конденсатора 1 нФ.

7. По прямой движутся две материальные точки, по законам x₁(t) = 4t 2 – 3 и x₂(t) = t 3 . В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Елена Гелиевна Бедрицкая – выпускница МГПИ им. В.И.Ленина 1987 г., педстаж 19 лет, учитель математики высшей квалификационной категории. Награждена медалью «В память 850-летия Москвы» и почётной грамотой Минобрнауки РФ. Увлекается компьютерной графикой и рукоделием. Дочь учится в 8-м классе.

Татьяна Николаевна Курдюкова – выпускница Коломенского пединститута 1980 г., педстаж 26 лет, учитель математики 1-й квалификационной категории, награждена почётной грамотой ЮВАО г. Москвы. Татьяна Николаевна – многодетная мать, хобби – воспитание внуков.

Екатерина Вячеславовна Пронина – выпускница МГПИ им. В.И.Ленина 1989 г., педстаж 16 лет, учитель физики 1-й квалификационной категории. Награждена медалью «В память 850-летия Москвы» и почётной грамотой Минобрнауки РФ. Сын учится в 8-м классе.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Электромагнитные колебания — взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.

Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.

Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи.

Это затухающие колебания, так как сообщенная системе энергия расходуется на нагревание и другие процессы.

Вынужденные электромагнитные колебания — незатухающие колебания в цепи, вызванные внешней периодически изменяющейся синусоидальной ЭДС.

Электромагнитные колебания описываются теми же законами, что и механические, хотя физическая природа этих колебаний совершенно различна.

Электрические колебания — частный случай электромагнитных, когда рассматривают колебания только электрических величин. В этом случае говорят о переменных токе, напряжении, мощности и т.д.

Колебательный контур — электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.

Состояние устойчивого равновесия колебательного контура характеризуется минимальной энергией электрического поля (конденсатор не заряжен) и магнитного поля (ток через катушку отсутствует).

Величины, выражающие свойства самой системы (параметры системы): L и m, 1/C и k

величины, характеризующие состояние системы:

величины, выражающие скорость изменения состояния системы: u = x'(t) и i = q'(t) .

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Можно показать, что уравнение свободных колебаний для зарядаq = q(t) конденсатора в контуре имеет вид

где q" — вторая производная заряда по времени. Величина

является циклической частотой. Такими же уравнениями описываются колебания тока, напряжения и других электрических и магнитных величин.

Одним из решений уравнения (1) является гармоническая функция

Период колебаний в контуре дается формулой (Томсона):

Величина φ = ώt + φ₀, стоящая под знаком синуса или косинуса, является фазой колебания.

Фаза определяет состояние колеблющейся системы в любой момент времени t.

Ток в цепи равен производной заряда по времени, его можно выразить

Чтобы нагляднее выразить сдвиг фаз, перейдем от косинуса к синусу

ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

1. Гармоническая ЭДС возникает, например, в рамке, которая вращается с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией В. Магнитный поток Ф , пронизывающий рамку с площадью S ,

где- угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции .

По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции равна

где — скорость изменения потока магнитной индукции.

Гармонически изменяющийся магнитный поток вызывает синусоидальную ЭДС индукции

где — амплитудное значение ЭДС индукции.

2. Если к контуру подключить источник внешней гармонической ЭДС

то в нем возникнут вынужденные колебания, происходящие с циклической частотой ώ, совпадающей с частотой источника.

При этом вынужденные колебания совершают заряд q, разность потенциалов u , сила тока i и другие физические величины. Это незатухающие колебания, так как к контуру подводится энергия от источника, которая компенсирует потери. Гармонически изменяющиеся в цепи ток, напряжение и другие величины называют переменными. Они, очевидно, изменяются по величине и направлению. Токи и напряжения, изменяющиеся только по величине, называют пульсирующими.

В промышленных цепях переменного тока России принята частота 50 Гц.

Для подсчета количества теплоты Q, выделяющейся при прохождении переменного тока по проводнику с активным сопротивлением R, нельзя использовать максимальное значение мощности, так как оно достигается только в отдельные моменты времени. Необходимо использовать среднюю за период мощность — отношение суммарной энергии W, поступающей в цепь за период, к величине периода:

Поэтому количество теплоты, выделится за время Т:

Действующее значение I силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, который за время, равное периоду T, выделяет такое же количество теплоты, что и переменный ток:

Отсюда действующее значение тока

Аналогично действующее значение напряжения

Трансформатор — устройство, увеличивающее или уменьшающее напряжение в несколько раз практически без потерь энергии.

Трансформатор состоит из стального сердечника, собранного из отдельных пластин, на котором крепятся две катушки с проволочными обмотками. Первичная обмотка подключается к источнику переменного напряжения, а к вторичной присоединяют устройства, потребляющие электроэнергию.

называют коэффициентом трансформации. Для понижающего трансформатора К > 1, для повышающего

Пример. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени в соответствии с уравнением . Найдите период и частоту колебаний в контуре,циклическую частоту, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока. Запишите уравнение , выражающее зависимость силы тока от времени.

Из уравнения следует, что . Период определим по формуле циклической частоты

Зависимость силы тока от времени имеет вид:

Амплитуда силы тока.

Ответ: заряд совершает колебания с периодом 0,02 с и частотой 50 Гц, которой соответствует циклическая частота 100 рад/с, амплитуда колебаний силы тока равна 510 3 А, ток изменяется по закону:

i=-5000 sin100t

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора в колебательном контуре с течением времени.

t, 10 −6 c

q, 10 −9 Кл

Выберите два верных утверждения о процессе, происходящем в контуре:

1) Период колебаний равен 4·10 −6 c.

2) В момент t = 2·10 −6 c энергия катушки максимальна.

3) В момент t = 4·10 −6 c энергия конденсатора минимальна.

4) В момент t = 2·10 −6 c сила тока в контуре равна 0.

5) Частота колебаний равна 125 кГц.

1) Определим период колебаний. Из таблицы видно, что первый раз заряд был равен 2·10 −9 Кл в начальный момент времени и вновь стад равен 2·10 −9 Кл в 8·10 −6 с. Следовательно, период колебаний равен 8·10 −6 с.

2) Энергия катушки максимальна в момент, когда энергия конденсатора минимальна. Энергия конденсатора минимальна, когда заряд на нём равен нулю. Значит, энергия катушки была максимальна в моменты времени t = 2·10 −6 с и t = 6·10 −6 с.

3) Энергия конденсатора максимальна, когда заряд на нём максимален по модулю. Значит, энергия конденсатора максимальна при t = 4·10 −6 с.

4) Заряд в контуре изменяется синусоидально. Сила тока — это производная заряда по времени, следовательно, сила тока в контуре равна нулю, когда заряд конденсатора максимален по модулю, то есть при

5) Найдём частоту колебаний:

Таким образом, верны утверждения под номерами 2 и 5.