БИЗНЕС и УЧЕБА Реклама на сайте
БИЗНЕС-РАЗДЕЛ | УЧЕБНЫЙ РАЗДЕЛ | УЧЕБНЫЙ РАЗДЕЛ |
Федоренко Владимир Игоревич | (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана) |
Соавтор(ы): Кучеров Кирилл Владимирович, Христофоров Павел Андреевич, Христофоров Павел Андреевич
Аннотация
В работе показан алгоритм построения разверток сложных поверхностей методами начертательной геометрии и продемонстрирована возможность формообразования сложных поверхностей из плоских разверток.
Ключевые слова: начертательная геометрия, развертка, сфера, торсовая поверхность
Введение
В технике, термином «развертка» называют плоскую заготовку, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём гибки. В современной промышленности развертки поверхностей широко применяются в различных видах производства, но особенно в тех, которые связаны с листовыми материалами: нефтехимическая и газовая промышленности (резервуары и трубопроводы), судостроение, авиастроение, легкая промышленность (швейная и кожевенная).
В данной работе под термином «развертка» будет пониматься плоская фигура, полученная при совмещении элемента развертываемой поверхности с плоскостью без разрывов и складок, при этом развертываемая поверхность рассматривается как гибкая, нерастяжимая пленка [1].
Прежде всего, необходимо определить основные термины и алгоритмы, поскольку в разных литературных источниках они различаются.
Все поверхности можно разделить на развертываемые и неразвертываемые. К первым относятся гранные поверхности и линейчатые поверхности, которые называются торсовыми. К торсовым поверхностям относятся цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата. Все остальные поверхности являются неразвертываемыми (например, сфера или тор).
Различают следующие виды разверток: точные, приближенные и условные.
Точные развертки можно получить только для многогранных поверхностей, поскольку такая развёртка есть совокупность многоугольников, конгруэнтных граням разворачиваемой поверхности и расположенных в одной плоскости [2].
Приближенные развертки используются при развертывании торсовых поверхностей. При этом криволинейные поверхности заменяются аппроксимирующей многогранной поверхностью. Например, цилиндрическая поверхность заменяется призмой. Однако, точная развертка такой призмы будет только приблизительно соответствовать развертке цилиндрической поверхности.
Для оставшихся неразвертываемых поверхностей производится построение условных разверток. Для этого применяется метод двойной аппроксимации. Сначала неразвертываемая поверхность разбивается на ряд отсеков. Каждый из этих отсеков заменяется (аппроксимируется) отсеком криволинейной развертываемой (торсовой) поверхности. Каждый отсек развертываемой поверхности аппроксимируется соответствующей ей многогранной поверхностью. И только после этого получают точную развертку многогранной поверхности, которая является условной разверткой неразвертываемой поверхности [3].
В литературе показано несколько стандартных способов создания разверток неразвертываемых поверхностей [4]. Например, поверхность сферы аппроксимируется отсеками цилиндрических поверхностей, которые потом заменяются призмами. В этом случае развертка будет выглядеть как набор двухдуговых «лепестков». Или сферическую поверхность заменяют элементами цилиндрических и конических поверхностей.
Иногда при создании развертки неразвертываемой поверхности аппроксимацию отсека элементом многогранника, заменяют на вырезание элемента самой криволинейной поверхности, как если бы материал поверхности был тканью.
Кроме этого, существуют и другие методы создания поверхностей, основанные на изгибании плоских заготовок [5, 6].
В промышленности же развертки больших сферических резервуаров состоят из меридианальных лепестков и купола с днищем в виде двух сферических сегментов. Купол и днище резервуара получают из металлического диска путем обжатия на оправке с помощью молота или пресса. Лепестки изготавливаются на многовалковом стенде методом холодного вальцевания, то есть гибки металла до нужной формы или используется метод горячей штамповки, то есть изгибают в двух плоскостях.
Таким образом, можно сделать вывод, что создать неразвертываемую поверхность из плоской развертки очень сложно. Повышение геометрической точности такой поверхности ведет к увеличению количества элементов (отсеков) поверхности, что отрицательно скажется на экономической составляющей процесса изготовления и прочностных характеристиках объекта. Поэтому создание новых способов развертывания сложных поверхностей является актуальной задачей.
Постановка задачи
Задача исследования — найти вариант построения условной развертки сферы без разбиения ее на отсеки.
Для решения поставленной задачи необходимо заменить (аппроксимировать) поверхность сферы некой развертываемой поверхностью. Из курса начертательной геометрии известно, что любая поверхность может быть задана как множество последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии. Такая линия называется образующей. Закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы задаются направляющими линиями.
В нашем варианте построения образующая линия должна быть отрезком прямой (иначе аппроксимирующая поверхность не будет развертываемой), а направляющая — лежать на поверхности сферы. При этом направляющая линия, во-первых, должна начинаться на одном из полюсов сферы и заканчиваться на противоположном, а, во-вторых, охватывать всю сферу по возможности равномерно. Такими свойствами обладает сферическая спираль Клелия (рис.1а), хотя можно применить и другие кривые спиралевидного типа.
Образующие линии торсовой поверхности удобнее всего расположить в меридиональных плоскостях сферы (рис.1б). Необходимо отметить, что длина образующей линии получаемой торсовой поверхности постоянна, кроме двух околополюсных оборотов направляющей линии, где длина образующей будет переменна (это если применять спираль Клелия).
На втором этапе заменяем (аппроксимируем) торсовую поверхность многогранником. Для этого необходимо заменить направляющую кривую ломаной линией (рис.2). Однако, возможности компьютерных графических пакетов позволяют обратно “скривить” такие ломаные линии, достаточно задать на каждой скрутке (обороте) спирали несколько тысяч опорных точек.
На третьем этапе произведем точное построение развертки многогранника.
Для построения развертки многогранной поверхности нужно совместить все грани этой поверхности с одной плоскостью так, чтобы образовалась плоская фигура. При этом смежными будут две грани, имеющие общее ребро.
Для одной и той же поверхности вид ее развертки может быть различным в зависимости от избранной последовательности расположения граней на развертке.
При этом самая красивая условная развертка сферы получается, если мысленный “разрез” многогранника произвести по бывшей направляющей спирали (криволинейной или ломаной).
Процедура построения развертки построена на применении способа триангуляции. Построение начинается с самой маленькой грани, расположенной около полюса сферы, и раскручивается по спирали до аналогичной грани на другом полюсе. Расположение граней и их форма наглядно показаны на рис. 2.
Построение развертки сферы производилось в графическом пакете AutoCAD с использованием программы написанной на языке AutoLISP [7]. Результат построения развертки показан на рис. 3.
Первый опытный образец сферы из ленточной развертки показан на рис.4.
По аналогичному алгоритму были построены условные развертки торовой и параболической поверхностей.
Результаты работы применяются автором при чтении лекций по курсу «Начертательная геометрия» в разделе «Развертки поверхностей», а опытный образец из металла, изготавливается в настоящее время на заводе фирмы «Соединительные детали трубопроводов» в г. Таганроге для последующей проверки на прочность.
Ещё один результат данной работы – при задании в программе большого числа витков направляющей спирали, лента развертки утончается и фактически преобразуется в спираль Корню.
Список литературы
- Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для ВТУЗов. 2-е изд. – М.: Машиностроение, 1983. 240 с.
- Иванов Г.С., Начертательная геометрия: учебник. – 3-е изд. – М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. – 340 с.
- Жирных Б.Г., Серёгин В.И., Шарикян Ю.Э. Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина – 1-е изд. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 176 с.: ил.
- Высоцкая Н.Н., Иерусалимский А.М., Невельсон Р.А., Федоренко В.А. Технические развертки изделий из листового металла. 2-е изд. исправл. – М.: Машиностроение, 1968. – С. 272
- Пилипака С.Ф. Конструирование поверхностей и их непрерывное изгибание в конечные формы на основании управления натуральными параметрами : автореферат дис. . доктора технических наук : 05.01.01. — Киев, 2000. — 38 c. : ил.
- Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. – М. Изд-во УДН, 1991.- 287 с., ил.
- Хювёнен Э., Сеппянен Й. Мир Лиспа. В 2-х т. Т.1: Введение в язык Лисп и функциональное программирование. Т.2: Методы и системы программирования. Пер. с финск. – М.: Мир, 1990.
Рисунки к докладу
Спираль Клелия (а) и аппроксимация сферы торсовой поверхностью (б)
Рис. 2
Аппроксимация торсовой поверхности многогранником
Рис. 3
Условная развертка сферической поверхности
Рис. 4
Вопросы и комментарии к выступлению:
Горнов Александр Олегович (24 марта 2017 г. 20:12) |
Владимир Игоревич и Ваши соавторы, здравствуйте ! Если бы среди вариантов оценки публикации и, соответственно её сути, было бы предложение "очень понравилось" — оценил бы так! К тому же Вашу ленту в материале скоро свернут в сферу! Планируете ли Вы далее ( наверно сместе с технологами ) анализировать оптимальное сочетание числа витков и технолого — экономические показатели . Зависит ли оптимальное число витков от диаметра сферы ? Раз Вы пишите "Лента Федоренко", надо ли понимать, что это решение оригинально и этот приоритет за Вами закреплен? Или я тут что то не так понял? Это интересно еще с той точки зрения , что даже трудно оценить сколько раз подобную ленту человечество наблюдало очищая круглую картофелену! И еще, уже совсем интуитивно чувствую ( может и ошибаюсь) , что подобные задачи близки "Проектографии" ( автор проф. Гамаюнов В), о которой говорил на прошлой конференции уважаемый В.А. Наместников. Мы хотели в этом разобраться, но руки пока не дошли . Может Вам это будет интересно и разобравшись, попонятней бы изложили для всех. Спасибо. С уважением, А.О. |
Кокарева Яна Андреевна (24 марта 2017 г. 20:43) |
|
Хейфец Александр Львович (24 марта 2017 г. 20:51) |
|
Головнин Алексей Алексеевич (24 марта 2017 г. 21:37) |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 1:34) |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 2:36) |
|
Горнов Александр Олегович (25 марта 2017 г. 2:38) |
|
Сальков Николай Андреевич (25 марта 2017 г. 2:49) |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 3:06) |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 15:18) |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 15:41) |