В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При составлении уравнений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
Правильное заключение об этом можно сделать, если известно направление намотки катушек на сердечнике и выбрано положительное направление токов в них.
На рис. 3.32, а катушки включены согласно, на рис. 3.32, б — встречно. Чтобы не загромождать чертеж, сердечники катушек на электрических схемах обычно не изображают, ограничиваясь тем, что одноименные зажимы (например, начала катушек) помечают одинаковыми значками, например точками.
Схема рис. 3.32, в эквивалентна схеме рис. 3.32, а, а схема рис. 0.32, г — схеме рис. 3.32, б.
Если на электрической схеме токи двух магнитно-связанных катушек одинаково ориентированы относительно одноименно обозначенных зажимов, например оба направлены к точкам или оба направлены от точек, то имеет место согласное включение, в противном случае — встречное.
Если магнитно связано несколько катушек, то начало и конец размечают для каждой пары катушек отдельно.
На примере рис. 3.33 рассмотрим методику составления уравнений для расчета магнитно-связанных цепей. Произвольно выберем положительные направления токов в ветвях схемы. Направления обхода контуров выберем по часовой стрелке. Составим уравнения для мгновенных значений: 
Для левого контура (первая и вторая ветви)
Перед слагаемым 
поставлен тот же знак, что и перед 
, так как токи 
входят в одноименные зажимы магнитно-связанных катушек, т. е. имеет место согласное включение. Сумма слагаемых 
представляет собой падение напряжения на первой катушке.
Слагаемые левой части уравнения (а) взяты со знаком плюс, так как на всех участках первого контура положительные направления токов совпадают с направлением обхода контура.
Составим уравнение для правого контура (вторая и третья ветви). Направление тока 
встречно направлению обхода контура, поэтому сумма падений напряжений во второй ветви войдет в уравнение со знаком минус:
Рассмотрим картину магнитного поля индуктивно связанных катушек, схематически представленную на рис. 3.27 (для согласного направления токов). Положим, что первая катушка состоит из ω1 витков, а вторая из ω2 витков, расположенных в каждой катушке настолько близко друг к другу, что магнитный поток охватывает целиком витки данной катушки. В общем случае, когда по обеим катушкам проходят токи i1 и i2, магнитные потоки могут быть представлены как результат наложения потоков, создаваемых каждым током в отдельности.
 |
На рис. 3.27 приняты следующие обозначения магнитных потоков:
Ф1 — весь поток, созданный током i1 первой катушки;
Фм1 — поток взаимной индукции первой катушки, пронизывающий витки второй катушки;
Фs1 — поток рассеяния первой катушки, пронизывающий только витки этой катушки;
Фм — общий поток взаимной индукции, пронизывающий витки обеих катушек.
Из сказанного следует, что
Чем меньше потоки рассеяния Фs1и Фs2 тем больше приближается Фм1 к Ф1 и соответственно Фм2 к Ф2. При изменении токов i1 и i2 во времени изменяются также и потоки, создаваемые этими токами. Индуктивность каждой катушки, как известно, определяется отношением потокосцепления самоиндукции к току данной катушки:
,
Первые слагаемые этих выражений где 
— индуктивности рассеяния катушки.
Магнитные потоки могут быть выражены через произведения м. д. с. на магнитные проводимости путей, по которым замыкаются эти потоки:
; 
;
;
Таким образом, индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков и сумме магнитных проводимостей путей потоков рассеяния и взаимной индукции.
Магнитная проводимость в свою очередь зависит от формы и размеров катушек, их взаимного расположения и магнитной проницаемости среды. На основании выше приведенных формул индуктивности рассеяния Ls1 и LS2 можно выразить через L1 ,L2 и М следующими формулами:
; 
Эти выражения нам используются при рассмотрении схемы замещения трансформатора.
Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи k, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции ко всему потоку катушки, т. е.
Если выразить потоки через параметры L1 ,L2 и М, то получим:
или 
Из формулы видно, что коэффициент связи всегда меньше единицы (так как ФM1/Ф1
При наличии магнитопровода цепь теряет свойство линейности. Однако в тех случаях, когда по условиям работы магнитная индукция в магнитопроводе не выходит за пределы прямолинейного участка кривой намагничивания и его магнитная проницаемость может быть принята постоянной, данная цепь рассматривается как линейная и изложенная выше теория сохраняет силу.
Индуктивно связанные катушки называют трансформатором, если их взаимная связь обусловлена только общим магнитным потоком. При этом цепь, к которой подключается источник возмущения (входное воздействие u1), называют первичной, а цепь, к которой подключена нагрузка ZH — вторичной (рис. 3.28а). Для более полной магнитной связи между обмотками w1 и w2 их размещают на общем магнитопроводе из ферромагнитного материала с µ >> 1. При этом, если магнитопровод работает на линейном участке вебер-амперной характеристики (µ = const) и потерями мощности в нем можно пренебречь, то такой трансформатор представляет собой линейный элемент.
Уравнения линейного трансформатора совпадают с уравнениями двух индуктивно связанных катушек (10.12) или (10.13), если считать, что входное воздействие представляет собой напряжение u1 или 
, а выходное напряжение u2 или 
представляет собой напряжение на нагрузке (знак минус обусловлен различным направлением тока и напряжения на нагрузке).
Трансформатор можно заменить эквивалентным двухполюсником, если привести его вторичную цепь к первичной. Для этого из второго уравнения системы (10.13) найдем: 
. Подставляя значение тока 
в первое уравнение системы (10.13), получим
(10.14)
где 
— комплексное вносимое сопротивление трансформатора;
— комплексное входное сопротивление трансформатора.
Эквивалентная схема приведенного трансформатора, соответствующая уравнению (10.14), изображена на рис. 3.28,б. В этой схеме вторичная цепь заменена комплексным вносимым сопротивлением ZВН. Аналогичный эквивалентный двухполюсник можно получить при непериодическом воздействии, заданном в операторной форме, используя уравнения (10.11).
Если учесть формулы (10.4), то уравнения трансформатора с коэффициентом трансформации п = w1/w2 для комплексов токов и напряжений (10.13) можно преобразовать к виду
(10.15)
Для приведения вторичной цепи трансформатора к числу витков первичной обмотки умножим второе уравнение системы (10.15) на п и введем обозначения: 
— приведенные к числу витков w1 параметры вторичной обмотки, вторичное напряжение и ток трансформатора; 
— приведенное сопротивление нагрузки.
Уравнения (10.15) приводим к виду
(10.16)
Уравнение м.д.с, трансформатора (рис. 3.28a) 
или 
можно привести к виду
(10.17)
Полученным уравнениям соответствует T-образная схема замещения приведенного линейного трансформатора (рис. 3.28в), в которой взаимная индуктивная связь между обмотками заменена тремя индуктивными элементами Ls1, 
и М’. Схема состоит из ветвей первичной r1, Ls1, приведенной вторичной обмотки 
, L’s2 и ветви намагничивания М’, которая обтекается суммарным током 
, называемым намагничивающим током 
, который создает поток взаимной индукции в трансформаторе. Комплексный коэффициент передачи по току трансформатора определяем из второго уравнения системы (10.15):
(10.18)
Комплексный коэффициент передачи по напряжению согласно уравнениям (10.15):
(10.19)
Рассмотрим трансформатор, у которого отсутствуют потери в обмотках (r1 = r2= 0), а коэффициент связи kсв = 1. Такой трансформатор называют совершенным.
Так как потоки рассеяния отсутствуют Gs1 = Gs2 = 0, то выражения для индуктивностей обмоток совершенного трансформатора принимают вид:
(10.20)
Учитывая равенства (10.20), преобразуем уравнения (10.15) приведенного трансформатора:
(10.20а)
(10.21)
Комплексные коэффициенты передачи по току и напряжению для совершенного трансформатора определяются из уравнений (10.21):
(10.22а)
Схема замещения совершенного трансформатора может быть получена из схемы рис. 3.28, в, если положить в ней r1 = r2 = 0 и Lsl = Ls2 = 0.
Таким образом, в совершенном трансформаторе 
зависит от параметров трансформатора п и М, нагрузки ZН и частоты w, а 
является постоянной величиной, равной отношению чисел витков обмоток трансформатора.
В идеальном трансформаторе отсутствуют потери мощности в обмотках (r1 = r2 = 0), потоки рассеяния Lsl = Ls2 = 0 и магнитная проводимость магнитопровода GM → ∞. Это означает, что L1, L2 и М также стремятся к бесконечности. Очевидно, что в этом случае намагничивающий ток Iµ = 0, и уравнение идеального трансформатора согласно (10.17) принимает вид 
, откуда
(10.23)
Коэффициенты передачи по напряжению и току идеального трансформатора определяются выражениями
(10.24)
Идеальный трансформатор имеет независимые от частоты и нагрузки ZН коэффициенты передачи по напряжению и току. Входное сопротивление идеального трансформатора равно приведенному к первичной обмотке сопротивлению нагрузки
(10.24а)
Это означает, что идеальный трансформатор преобразует без искажения напряжение 
в напряжение 
, а ток 
в ток 
, с инверсией знака независимо от параметров нагрузки, присоединенной к вторичным зажимам трансформатора. Его можно представить эквивалентной схемой, содержащей источник вторичного напряжения, управляемый первичным напряжением , и источник первичного тока, управляемый током во вторичной цепи 
(рис. 10.2г).
Реальные трансформаторы, поскольку их коэффициенты передачи и являются частотно-зависимыми величинами, передают входные сигналы с искажениями по форме. Чтобы приблизить свойства трансформатора к свойствам идеального трансформатора, следует уменьшать сопротивления обмоток r1, r2, улучшать магнитную связь между обмотками, стремясь уменьшить потоки рассеяния Фs], Фs2. Трансформатор является универсальным четырехполюсным элементом и используется для преобразования переменного напряжения, тока и сопротивления.
«Развязывание» магнитно-связанных цепей.
Иногда в литературе можно встретить расчетный метод, который называют развязыванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод состоит в том, что исходную схему с магнитно-связанными индуктивностями путем введения дополнительных индуктивностей и изменения величины имевшихся; преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме будет отсутствовать.
Так как преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквивалентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов.
Составим, например, схему, эквивалентную схеме , приведенной ранее на рис. 3.22.
С это целью в уравнении (3.65) 
заменим I3 на I1 – I2 и в уравнении (3.66) 
заменим I1 на I2 + I3
Замену одних токов другими производим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токи которые текут в ветвях рассматриваемого контура. В результате получим:
; (3.75)
(3.76)
Уравнениям (3.75) и (3.76) соответствует схема на рис. 3.29.
Сопоставляя схемы на рис. 3.22 и рис. 3.29, замечаем, что L1, заменена на (L1 +M), L3— на (L3 + М), а во вторую ветвь введена отрицательная индуктивность L2 = -М (физически осуществить полученную расчетным путем отрицательную индуктивность в цепи только с линейными элементами невозможно). Таким образом, участок цепи, изображенный на рис. 3.29б, расчетном смысле может быть заменен участком, показанным на рис. 3.29в. Если катушки будут включены встречно, то на рис. 3.29в следует изменить знак перед М. Покажем, как можно осуществлять развязывание, не составляя полных уравнений по второму закону Кирхгофа. В основу положим неизменность потокосцепления каждого контура до и после развязывания. Пусть в схеме (рис. 3.22) после развязывания х — индуктивность первой ветви, у — второй, z — третьей. Условие неизменности потокосцепления левого контура:
Условие неизменности потокосцепления правого контура
откуда у = -М и z = М + L3. Знак минус поставлен потому, что при обходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току i2.
При рассмотрении цепей гармонического тока до сих пор нами учитывалось явление самоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления самоиндукции, обусловленного током в этой цепи. Для простейшей 
цепи, приведенной на рис. 7.1,а, при переменном напряжении на зажимах цепи справедливо уравнение Кирхгофа
,
где 
— напряжение, уравновешивающее ЭДС самоиндукции.
Физическая картина заключалась в следующем: переменный ток 
, протекая по виткам катушки создает переменный магнитный поток 
, который сцепляясь с витками 
катушки, обуславливает появление ЭДС самоиндукции e L , противодействующей по закону Ленца изменению потокосцепления 
, то есть
,
где 
— индуктивность, численно равная отношению потокосцепления самоиндукции к току, его обуславливающему.
Теперь рассмотрим явление взаимоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в одной электрической цепи при изменении в ней потокосцепления, вызванного изменением тока в другой электрической цепи. Для этого проанализируем картину магнитного поля индуктивно-связанных катушек (рис. 7.1,б).
Протекание переменного тока 
по виткам 
первой катушки обуславливает появление магнитного потока Ф 11 . Часть этого потока сцеплена с витками только первой катушки и носит название потока рассеяния первой катушки Ф s 1 . Величина этого потока определяется формулой
,
где 
— магнитная проводимость пути, по которому замыкается поток рассеяния первой катушки.
Y s 1 / i 1 =
называется индуктивностью рассеяния первой катушки.
Часть потока 
пронизывает как витки первой катушки 
, так и витки второй катушки 
и носит название потока взаимоиндукции первой катушки 
, пронизывающего витки второй катушки. Таким образом,
Произведение 
является потокосцеплением второй цепи, обусловленное током 
в первой цепи.
Переменный ток 
, протекая по виткам 
второй катушки, создает переменный магнитный поток 
. Часть этого потока 
пронизывает только витки второй катушки 
и обуславливает потокосцепление рассеяния второй катушки
.
носит название индуктивности рассеяния второй катушки.
Часть потока 
, пронизывающая витки как первой, так и второй катушки, называется потоком взаимной индукции второй катушки, пронизывающим витки первой катушки 
.
есть потокосцепление первой цепи, обусловленное током во второй цепи 
.
Связь потокосцепления взаимной индукции одной электрической цепи с током в другой цепи характеризуется взаимной индуктивностью 
. Взаимная индуктивность равна отношению потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой цепи, то есть
,
.
Для линейных цепей всегда выполняется равенство 
, что легко показать. На самом деле
,
.
где l м1 и l м2 — магнитные проводимости путей, по которым замыкаются потоки взаимоиндукции Ф М1 и Ф М2 . А поскольку они замыкаются по одному и тому же пути, то l м1 = l м2 = l м , то
М 12 = М 21 = М=w 1 w 2 l м .
Таким образом взаимная индуктивность пропорциональна произведению чисел витков катушек w 1 и w 2 и магнитной проводимости l м . пути потоков взаимной индукции, которая зависит от магнитной проницаемости среды, взаимного расположения катушек, их формы и размеров.
Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи 
, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции к полному потоку катушки, то есть
.
Как видно, коэффициент связи 
всегда меньше 
, так как
и 
.
Коэффициент связи 
приближается к 
с уменьшением потоков рассеяния 
и 
. Повышение коэффициента связи достигается бифиляр-ной намоткой катушек и применением ферромагнитного сердечника, так как с увеличением магнитной проницаемости среды, по которой замыкаются потоки взаимной индукции, доля потоков рассеяния уменьшается.
Выразим потоки через токи катушек, числа витков, индуктивности и взаимную индуктивность следующим образом:
; 
; 
; 
.
.
ЭДС взаимной индукции
Если в отдельных индуктивных элементах цепи наводятся ЭДС взаимной индукции, то при расчете таких цепей необходимо учитывать напряжения, компенсирующие эти ЭДС. Сами эти напряжения u м21 , u м12 , называемые напряжениями взаимоиндукции, как и напряжения на индуктивностях, пропорциональны скоростям изменения токов, их обуславливающих, т.е.
u м12 =Md i 2 /dt, u м21 =Md i 1 /dt.
Если токи i 1 и i 2 синусоидальны, то напряжение взаимоиндукции можно определить на основании закона Ома в комплексной форме. Так комплекс напряжения взаимоидукции второй катущки, обусловленного током первой катушки можно записать в виде
,
где Z M =jX M -комплексное сопротивление взаимоиндукции или сопротивление связи, а X M = w M -реактивное сопротивление взаимной индукции катушек. Таким образом, напряжение взаимоиндукции второй катушки опережает ток первой катушки на 90 градусов . Аналогично, напряжение взаимоиндукции первой катушки, обусловленное током второй катушки опережает ток второй катушки на 90 градусов , а комплекс этого напряжения определяется выражением
.
Согласное и встречное включение катушек
При расчете ЭЦ, где имеет место явление взаимоиндукции, учет этого явления производится путем включения в уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа , дополнительных слагаемых в виде напряжений взаимоиндукции. Так для первой из катушек , представленных на рис. 7.1,б, уравнение Кирхгофа имеет вид
u 1 = u R1 + u L1 ± u м12 .
Если напряжение на индуктивности первой катушки u L1 и напряжение взаимоиндукции u м12 ., обусловленные током второй катушки направлены одинаково , то перед последним слагаемым ставится знак (+), если противоположно — то (-). Указанные напряжения будут направлены одинаково, если поток самоиндукции первой катушки и поток взаимоиндукции, обусловленный током второй катушки , в первой катушке направлены одинаково. Аналогично
u 2 = u R2 + u L2 ± u м21.
В тех случаях, когда картина магнитных потоков катушек непосредственно не рассматривается, при расчетах условились ставить знак (+) перед последним слагаемым в случае , когда катушки включены согласно и знак (-) -когда они включены встречно.
Катушки считаются включенными согласно, если токи в них ориентированы одинаково относительно некоторых зажимов, помеченных на схеме цепи точками или звездочками и называемых одноименными и встречно, если они ориентированы противоположно.
Зажимы катушек считаются одноименными, если одинаково ориентированные относительно них токи, обуславливают одинаково направленные в катушках потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
Физически направления магнитных потоков в катушках определяется правилом правоходового винта. Например, потоки Ф м1 и Ф м2 на рис. 7.2,а направлены
противоположно при заданных направлениях токов i 1 и i 2 , т.е. катушки включены встречно. Однако, если бы эти токи были ориентированы одинаково относительно зажимов соответственно 1 и 4, то потоки были бы направлены одинаково. Следовательно, эти зажимы можно считать одно-именными.
На рис. 7.2,б изображена эл. схема, соответствующая рисунку 7.2,а, где
наличие индуктивной связи между катушками показано дугой с стрелками, над которой стоит символ "М", а одноименные зажимы помечены символами (*).
Расчет цепей синусоидального тока с последовательно-соединенными и индуктивно-связанными катушками
Схема цепи, подлежащей расчету приведена на рис. 7.3. Пусть известны параметры катушек 
, 
, 
, 
и взаимная индуктивность 
и требуется определить ток в цепи 
.
Положим вначале, что катушки включены согласно. Тогда на основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно написать уравнение для мгновенных значений токов и напряжений в виде
.
Если напряжение на зажимах цепи синусоидально, то указанное уравнение можно записать в комплексной форме
.
Следовательно, комплекс тока в цепи определяется выражением
,
где L экв =L 1 +L 2 +2M — эквивалентная индуктивность цепи.
Таким образом, две индуктивно-связанные катушки, соединенные последовательно при согласном включении эквивалентны катушке, имеющей активное сопротивление 
и индуктивность 
. Как видно индуктивная связь между катушками в данном случае увеличивает эквивалентную индуктивность цепи.
Пусть теперь катушки включены встречно. Тогда
.
,
где 
— эквивалентная индуктивность цепи.
Таким образом, наличие индуктивной связи между катушками при их встречном включении уменьшает эквивалентную индуктивность цепи .