(4.1)
– циркуляция по замкнутому контуру вектора индукции магнитного поля равна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность S, ограниченную контуром, умноженной на магнитную постоянную 
Гн/м. Cила тока считается положительной, если направление тока в точке пересечения с поверхностью S совпадает с направлением положительной нормали к поверхности в этой точке, и отрицательный, если направление тока противоположно направлению этой нормали. Положительная нормаль определяется по правилу правого винта по отношению к направлению обхода Г (см. рис.6).
Если один из токов охватывается контуром N раз, то в формуле (4.1) такой ток будет складываться N раз.
Задача 6
По длинным проводам различной конфигурации текут разные токи (см. рис.6). Найдите циркуляцию вектора индукции магнитного поля, созданного этими токами, по замкнутому контуру Г.
1 А, 
2 А, 
3 А, 
4 А, 
5 А.
Решение:
Нарисуем вектор нормали 
в соответствии с обходом Г по правилу правого винта (см. рис.6). Таким образом можно определить знак каждой силы тока, входящей в формулу (4.1) и найти циркуляцию:
Тл×м
В этом примере учтено, что ток 
не пронизывает контур, поэтому и не входит в алгебраическую сумму в формуле (4.1)
Ответ: 2,51 мкТл×м.
Диполи в электрическом и магнитном полях.
Система из двух одинаковых по модулю, но разных по знаку электрических зарядов q, находящихся на очень малом расстоянии друг от друга l (по сравнению с расстоянием до точки наблюдения r), называется диполем. Диполь характеризуется электрическим моментом 
, где 
– вектор, направленный из отрицательного заряда к положительному. Диполь, взаимодействуя с электрическим полем, обладает потенциальной энергией взаимодействия
(5.1)
Стремясь занять в пространстве положение с наименьшей потенциальной энергией (5.1), диполь разворачивается своим моментом вдоль напряженности поля 
. В неоднородном электрическом поле на такой диполь действует сила
, (5.2)
которая стремится втянуть диполь в область с большей напряженностью.
Небольшой виток площадью S с током I обладает магнитным моментом 
, который направлен вдоль положительной нормали , определяемой по правилу правого винта относительно направления тока по этому витку. Такой магнитный момент, взаимодействуя с внешним магнитным полем с индукцией 
, обладает энергией взаимодействия
(5.3)
Аналогично электрическому диполю магнитный диполь также стремится принять положение с минимальной энергией (5.3) и разворачивается своим моментом вдоль поля , а в неоднородном магнитном поле на него действует сила (5.2), втягивающая такой виток в область с бόльшими значениями .
Задача 7
Электрический диполь с дипольным моментом 
, удерживают в неоднородном электрическом поле на оси х под углом a к ней в точке с координатой 
. Определите проекцию силы 
, действующей на диполь, если напряженность электрического поля на оси х меняется по закону 
,
где 
1 Кл×м; 
1 В/м; b = 1 м; = 1 м; a = 60°.
Решение:
По формуле (5.1) найдем зависимость энергии взаимодействия диполя и электрического поля:
Из формулы (5.2) найдем проекцию силы на ось х в точке 
:
Н
Ответ: 2,5 Н
6. Э.Д.С. индукции и самоиндукции
Рассмотрим замкнутый контур Г произвольной формы в неоднородном магнитном поле, который ограничивает некоторую поверхность S (см. рис.8). Потоком индукции магнитного поля сквозь эту поверхность называется величина
, (6.1)
где a – угол между вектором и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает.
При изменении потока Ф во времени в контуре Г возникает Э.Д.С. индукции – электродвижущая сила, равная скорости изменения магнитного потока (закон электромагнитной индукции Фарадея):
(6.2)
Если бы контур был сделан из проводящего вещества, то по нему потек бы электрический ток.
Поток Ф может изменяться по следующим причинам.
1) Изменяется индукция магнитного поля .
2) Изменяются геометрические размеры контура, т.е. изменяется площадь S.
3) Изменяется ориентация контура в пространстве, т.е. изменяется угол a.
В случае 1) в пространстве возникает вихревое электрическое поле 
, действующее на свободные электроны проводящего контура.
В случаях 2) и 3) из-за перемещения проводника в магнитном поле на свободные электроны в нем действует сила Лоренца.
Если рассмотреть контур, по которому протекает ток I (см. рис.9), то индукция порождаемого этим током магнитного поля создает сквозь поверхность контура поток, пропорциональный силе тока I:
, (6.3)
где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Если ток в контуре начинает изменяться, то в нем возникнет Э.Д.С. самоиндукции:
(6.4)
Знак "–" в формулах (6.2) и (6.4) означает, что при изменении магнитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая Э.Д.С., которая стремится уменьшить изменение потока.Это правило Ленца.В результате увеличения силы тока на рис. 9, а следовательно и индукции , возникает вихревое электрическое поле, направленное против тока I в контуре.
Задача 8
Квадратный проводящий контур со стороной b = 1 м пронизывает однородное магнитное поле под углом a = 30° к плоскости контура. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону 
. Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 1 с, если 
1 Тл; t = 1 с.
Решение:
Определим зависимость магниного потока от времени:
По формуле (6.2) определим модуль Э.Д.С. индукции:
В
Ответ: 4 В
Задача 9
По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Найти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 1 с, если и ток и индуктивность изменяются со временем по законам 
, 
, где 
1 Гн; 
1А; t = 1 с.
Решение:
Воспользуемся формулой (6.4):
В.
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар в 1820 -м году проводили эксперименты над магнитным полем постоянных токов. Физики доказали, что индукция магнитного поля проходящих по проводнику токов зависит от совместного действия всех участков данного проводника. Работа магнитного поля основана на принципе суперпозиции.
Принцип суперпозиции: если магнитное поле работает за счет нескольких проводников с током, тогда индукция результативного поля – это совокупность индукций полей, которые создаются каждым проводником по отдельности.
Индукция B → проводника с током представлена, как векторная сумма элементарных индукций ∆ B → вырабатываемых отдельными участками проводника. На практике нельзя отделить один участок проводника с током, поскольку постоянные токи всегда замкнутые. Возможно лишь измерить совокупную индукцию магнитного поля, которое создают все элементы тока. Как найти индукцию магнитного поля?
Закон Био–Савара
Закон Био-Савара определил вклад ∆ B → в магнитную индукцию B → результативного магнитного поля, образуемый маленьким участком Δ l проводника с током I .
∆ B = μ 0 · I · ∆ l · sin α 4 π r 2 .
В формуле r – это расстояние от заданного участка Δ l до точки наблюдения, α – это угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на заданном участке, μ 0 – это магнитная постоянная.
Используя правило буравчика, определим направление вектора ∆ B → : оно указывает на ту сторону, в которую вращается рукоятка буравчика при его поступательном движении вдоль тока. Рисунок 1 . 17 . 1 наглядно показывает закон Био-Савара с применением магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если сложить (интегрировать) вклады в магнитное поле всех участков проводника с током, тогда получим формулу для магнитной индукции поля прямого тока:
Рисунок 1 . 17 . 1 . Иллюстрация закона Био–Савара.
С помощью этого закона можно определять магнитные поля токов с различными конфигурациями. Запросто рассчитать магнитное поле в центре кругового витка с током. Вычисления приводят к соотношению:
где R – это радиус кругового проводника.
Чтобы определить направление вектора B → тоже используется правило буравчика, только в этом случае рукоятка вращается по направлению кругового тока, а поступательное движение буравчика указывает, куда направлен вектор магнитной индукции.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции
Вычисления магнитного поля зачастую упрощаются с учетом симметрии в конфигурации токов. В этом помогает теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.
Объясним, что означает циркуляция вектора B → . Допустим, в пространстве с магнитным полем существует какой-то условный замкнутый контур, а также положительное направление его обхода. Тогда, на каждом отдельном маленьком участке Δ l данного контура определяется касательная составляющая B l вектора B → в этом месте, то есть определяется проекция вектора B → на направление касательной к заданному участку контура. Рисунок 1 . 17 . 2 наглядно демонстрирует это.
Рисунок 1 . 17 . 2 . Замкнутый контур ( L ) с заданным направлением обхода. Изображение токов I 1 , I 2 и
I 3 , создающих магнитное поле.
Циркуляция вектора B → – это сумма произведений B l ∆ l , взятая по целому контуру L : B → = ∑ ( L ) B l ∆ l.
Некоторые токи, при которых магнитное поле создается, пропускают выбранный контур L тем временем, как остальные токи находятся в стороне от контура.
Согласно теореме о циркуляции, циркуляция вектора B → магнитного поля постоянных токов по любому из контуров L все время определяется, как произведение магнитной постоянной μ 0 на сумму всех токов:
∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ∑ l i.
На рисунке 1 . 17 . 2 продемонстрирован пример с несколькими проводниками с токами, образующими магнитное поле. Ток I 2 и ток I 3 пронзают контур L в противоположных направлениях, им приписываются различные знаки. Положительным является ток, который связан с заданным направлением обхода контура по правилу буравчика.
Значит, I 3 > 0 , а I 2 0 . Ток I 1 не пронзает контур L .
Теорема о циркуляции в этом примере математически выражается следующей формулой:
∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ( I 3 — I 2 ) .
Общий вид теоремы о циркуляции можно вывести из принципа суперпозиции и закона Био-Савара.
Самый простой пример использования теоремы о циркуляции – это вывод формулы магнитного поля прямолинейного проводника с током. С учетом симметрии в этой задаче контуром L лучше выбрать окружность какого-то радиуса R , лежащую в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности задан в какой-то точке проводника. Из-за симметрии вектор B → направляется по касательной ( B l = B ) , а его модуль имеет одинаковое значение по всей окружности. Использование теоремы о циркуляции приводит к выражению:
∑ ( L ) B l ∆ l = 2 π R B = μ 0 I ,
отсюда можно вывести формулу для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенную раньше.
Из данного примера видно, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B → можно использовать для вычисления магнитных полей, которые создаются симметричным распределением токов, когда можно наугад определить общую структуру поля.
Существует много примеров определения магнитных полей при помощи теоремы о циркуляции.
Рассмотрим одну из них – это задачу расчета поля тороидальной катушки (рисунок 1 . 17 . 3 ).
Рисунок 1 . 17 . 3 . Использование теоремы о циркуляции к тороидальной катушке.
Предположим, что катушка намотана виток к витку на ненамагниченный тороидальный сердечник. В ней линии магнитной индукции сходятся внутри катушки и выступают концентрическими окружностями. Они имеет такое направление, что, смотря вдоль них, наблюдатель увидел бы ток в витках, циркулирующих по часовой стрелке.
Одна линия индукции какого-то радиуса r 1 ≤ r r 2 представлена на рисунке 1 . 17 . 3 . Используем теорему о циркуляции для контура L в виде окружности, которая совпадает с линией индукции магнитного поля, изображенной на рисунке 1 . 17 . 3 . Опираясь на соображения о симметрии, делаем вывод, что модуль вектора B → имеет одинаковое значение по всей линии. Исходя из теоремы о циркуляции, запишем:
B · 2 π r = μ 0 I N ,
где N – это полное количество витков, а I – это ток, протекающий по виткам катушки. Значит, B = μ 0 I N 2 π r .
Так, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке находится в зависимости от радиуса r . При условии, что сердечник катушки тонкий, то есть r 2 – r 1 ≪ r , тогда магнитное поле внутри катушки почти однородное.
Величина n = N 2 π r – это количество витков на единицу длины катушки. Следовательно, B = μ 0 I n .
Сюда не относится радиус тора, потому оно действует и в предельном случае r → ∞ .
Однако в пределе каждая часть тороидальной катушки при необходимости рассматривается в качестве длинной прямолинейной катушки, которая называется соленоид. Вдали торцов такой катушки модуль магнитной индукции определяется, как соотношение в случае с тороидальной катушкой.
На рисунке 1 . 17 . 4 представлено магнитное поле катушки конечной длины. Обращаем внимание, что в центре катушки магнитное поле почти однородное и намного сильнее, чем снаружи. Это объясняется густотой линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле полностью находится внутри него.
Рисунок 1 . 17 . 4 . Магнитное поле катушки конечной длины. В центральной части соленоида магнитное поле почти однородное и существенно больше по модулю поля вне катушки.
В случае с бесконечно длинным соленоидом соотношение для модуля магнитной индукции получаем прямо из теоремы о циркуляции, применяя ее к прямоугольному контуру, изображенному на рисунке 1 . 17 . 5 .
Рисунок 1 . 17 . 5 . Теорема о циркуляции при расчете магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Проекция вектора магнитной индукции на направление обхода контура a b c d только на стороне a b отлична от 0 . Значит, циркуляция вектора B → по контуру равняется B l , где l – это длина стороны a b . Количество витков соленоида, пронзающих контур a b c d , равняется n · l , где n – это количество витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронзающий контур, равняется I n l . Из теоремы о циркуляции, B l = μ 0 I n l .
Отсюда B = μ 0 I n .
Данное вычисление совпадает с формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.
Рисунок 1 . 17 . 6 . Модель магнитного поля кругового витка с током.
Рисунок 1 . 17 . 7 . Модель магнитного поля прямого тока.
Рисунок 1 . 17 . 8 . Модель магнитного поля соленоида.
ВИХРЕВОЙ ХАРАКТЕР МАГНИТНОГО ПОЛЯ.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции поля постоянных токов в вакууме может быть доказана на основе закона Био-Савара, что, в общем случае, достаточно сложно.
— циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов охватываемых этим контуром.
Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта (рис.75).
РИС.75 РИС.76 РИС.77
Если ток распределен по объему, в котором расположен контур, то полный ток охваченный контуром 
, где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур, плотность тока соответствует токе расположения площадки 
. В этом случае теорема о циркуляции:
Покажем справедливость теоремы на примерах.
ПРИМЕР 1. Контур охватывает прямолинейный бесконечно длинный провод с током, причем контур расположен в плоскости перпендикулярной проводу (рис.76). Найдем циркуляцию вектора магнитного поля, используя формулу для расчета индукции поля, полученную методом суперпозиции 
. Скалярное произведение под интегралом можно представить (рис.77): 
Если замкнутый контур L` не охватывает ток (рис.78),
То 
и циркуляция также равна нулю.
ПРИМЕР 2. Контур лежит не в плоскости перпендикулярной проводу (рис.79). Разложим вектор 
на составляющие вектора, один из которых лежит в плоскости перпендикулярной проводу, а второй перпендикулярен этой плоскости: 
Циркуляция вектора магнитной индукции определяется только «проекцией» контура на плоскость перпендикулярную проводу.
ПРИМЕР 3. Если контур охватывает несколько токов, то вектор индукции результирующего поля: 
ПРИМЕР 4. Если ток непрерывно распределен в объеме, в котором расположен контур, то полный ток, охватываемый контуром 
, где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур.
Тогда : 
РИС.80 РИС.81 РИС.82 РИС.83
Теорема о циркуляции позволяет достаточно просто рассчитать индукцию магнитного по известному распределению токов, если можно выбрать контур, вдоль которого модуль вектора магнитной индукции и направление постоянно.
В простейшем варианте можно выбрать контур полностью совпадающий с линией магнитной индукции как в поле прямого тока (рис.80), тороида (рис.81).
Поле внутри соленоида (рис.82) тем более однородно, чем больше длина соленоида по сравнению с его диаметром. Для «бесконечного» соленоида снаружи вблизи его поверхности магнитного поля нет и можно выбрать контур, лишь часть которого совпадает с линией магнитной индукции (рис.83).
Ток охватываемый контуром 
, где N – число витков с током, охваченных контуром. Тогда: 
Следовательно, индукцию магнитного поля внутри «бесконечного» соленоида можно рассчитать по формуле
, где n – число витков соленоида на единицу длины.
Факт, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, означает, что, в отличие от электростатического, магнитное поле – не потенциально.
Используем теорему Стокса 
и сравним это выражение с записью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции в случае непрерывного распределения тока в некотором объеме.
— дифференциальная (локальная) форма теоремы о циркуляции. Математическая констатация того факта, что линии вектора магнитной индукции замкнуты вокруг вектора плотности тока по правилу правого буравчика и поэтому магнитное поле называют вихревым или соленоидальным.
Используем, что 
или с помощью определителя:
, 
.